Finanzanlage als Vorsorge – versicherungsmathematisch gesehen

7.9.2026 – Die Pension und der Kapitalmarkt, Verzinsung und Rendite, ETF vs. Versicherung, und welchen Einfluss die Reihenfolge „guter“ und „schlechter“ Jahre hat – Versicherungsmathematiker Christoph Krischanitz rechnet vor.

: Der Autor: Versicherungsmathematiker
Christoph Krischanitz (Bild: Krischanitz)

Das Pensionssystem mehr in Richtung Kapitalmarkt zu verlagern, ist unumstritten. Die demographische Entwicklung gibt ein reines Umlageverfahren nicht her. Das weiß man seit über 30 Jahren. Auch wenn es einigen Ideologien nicht so sehr passt.

Aber die Versorgung im Alter ist kein ideologisches Thema, sondern ein finanz- und versicherungstechnisches Thema.

Finanz- und versicherungstechnisches Thema.

Vorsorgen über Finanzanlagen? Kann man machen. Wenn man viel Geld oder einen geringen Anspruch hat.

Ja natürlich kann man über eine lange Veranlagungsdauer eine höhere Rendite verdienen als in einer Versicherung. Eh klar. Kriegt man ja auch immer vorgezeichnet in schönen Grafiken.

Interessanterweise werden dann in diesen Grafiken die risikobehafteten Renditen neben den risikolosen Renditen gezeigt. Als wäre das direkt vergleichbar. Als würde die Durchschnittsbildung aus der Vergangenheit jedes Risiko aus der Zukunft wegzaubern.

Ein Rechenbeispiel

Gehen wir einmal davon aus, in den nächsten Jahren gibt es keine Finanzkrise mehr. Das alleine ist schon eine sehr mutige Annahme, denn in diesem Jahrtausend hatten wir schon drei und wir haben noch nicht einmal dreißig Jahre erlebt. Aber gut.

Machen wir ein kleines Rechenbeispiel. Zuerst eine einfache Veranlagung. Sagen wir, wir haben 10.000 Euro und wir brauchen diese die nächsten 10 Jahre nicht, wir legen sie also an und rühren in der Zwischenzeit nicht daran.

Nehmen wir weiter an, wir werden in den nächsten 10 Jahren fünf gute Jahre erleben, in denen wir 5 % Rendite bekommen, und fünf schlechte Jahre, in denen wir nur 1 % Rendite erzielen. Dann haben wir am Ende der 10 Jahre 13.413 Euro.

Nun mag es Finanzprofis geben, die sagen, das sind ja im Schnitt 3 %, das wäre ja viel einfacher zu rechnen.

Nachgerechnet

Nun, rechnen wir nach. Bei einer 10-jährigen Zinseszinsrechnung mit 3 % kommen wir auf 13.439 Euro, also um 26 Euro mehr. Für die Enthusiasten unter Ihnen, das ist kein Rundungsfehler, sondern der Unterschied zwischen arithmetischem Mittel und geometrischem Mittel.

In der Finanzwelt spricht man auch von der „Ito-Formel“. Die Volatilität macht hier den Unterschied. Die entsprechende durchschnittliche Rendite wäre also nicht 3 %, sondern 2,981 %.

Und je volatiler, desto größer der Unterschied. Nähme man 0 % und 6 % statt 1 % und 5 %, würde man nur mehr 13.382 Euro bekommen. Das „arithmetische“ Mittel wäre gleich, aber die Volatilität ist größer. Risiko kostet also. Hier wäre die durchschnittliche Rendite nurmehr 2,956 %.

Reihenfolge egal

Da wir das Geld liegen lassen, kommt uns aber eine andere mathematische Eigenschaft sehr zugute, nämlich das Kommutationsgesetz.

Das ist nichts Religiöses, sondern die Tatsache, dass wir bei der Multiplikation die Reihenfolge vertauschen dürfen. 1,05*1,01 = 1,01*1,05.

Es ist daher egal, ob die guten Jahre zuerst kommen oder erst gegen Ende der Laufzeit. Die Reihenfolge ist also völlig egal.

Reihenfolge nicht egal

Nun widmen wir uns dem Thema Rente. Nehmen wir nun an, wir legen die 10.000 wieder an und nehmen am Ende jedes Jahres 1.000 Euro heraus. Das, was am Ende der 10 Jahre überbleibt (die Zinsgewinne), bekommt das Enkerl zur Hochzeit.

Jetzt wird es aber spannend. Dadurch, dass man regelmäßig Geld abhebt und die Höhe des Grundkapitals sich laufend verändert, ist die Reihenfolge der guten und der schlechten Jahre nicht mehr egal.

Mit der durchschnittlichen Rendite von 2,981 % würde am Ende der 10 Jahre noch 1.960 Euro überbleiben. Das hätte Ihnen der Finanzprofi auch vorgerechnet (wenn er nicht gar mit 3 % gerechnet hätte und auf 1.975 Euro gekommen wäre).

Das ist aber ein sehr unwahrscheinliches Ereignis, weil die Renditen ja nicht gleichmäßig kommen (tatsächlich ist es in dieser Konstellation sogar ein unmögliches Ereignis!).

Ein paar Blumensträuße weniger

Schön wäre es natürlich, wenn wir zuerst die guten Jahre haben, dann nämlich zieht die hohe Rendite auf einen noch hohen Kapitalstand. Das Beste, was also in dieser Konstellation herauskommen kann, sind 2.505 Euro, nämlich dann, wenn die ersten fünf Jahre gut sind und die letzten Jahre (wenn es quasi eh schon wurscht ist) die schlechten Jahre sind.

Es kann aber auch umgekehrt kommen. Es können auch die ersten fünf Jahre nur mit 1 % performen, dafür aber die letzten Jahre die 5 % erwirtschaften. Für die durchschnittliche Performance macht das keinen Unterschied, die ist immer noch gleich, für das Vermögen am Ende aber sehr wohl. Es bleiben dann nur mehr 1.377 Euro über. Für die Hochzeit des Enkerls fallen dann wohl einige Blumensträuße weg.

Alle anderen Konstellationen von guten und schlechten Jahren (wir Mathematiker sprechen von Permutationen) liegen zwischen diesen Extremen.

Zwei zusätzliche Herausforderungen

Jetzt stellen Sie sich bitte zwei zusätzliche Herausforderungen vor.

Sie müssen von dieser Rente leben und wollen länger als 10 Jahre Geld entnehmen. Wie viel dürfen Sie sich herausnehmen, wenn Sie a) nicht wissen, wie lange Sie leben und b) nicht wissen, wann gute und wann schlechte Zeiten kommen?
Schlechte Jahre können auch negative Renditen erzeugen, die Volatilität kann in Zukunft viel höher sein und Finanzkrisen sind nicht ausgeschlossen.

Für Vorsorgelösungen mit Finanzinstrumenten ist es immer anzuraten den Aktuar seines Vertrauens beizuziehen, um haftungsrelevante Beratungsfehler weitgehend ausschließen zu können.

Christoph Krischanitz

Der Autor ist Versicherungsmathematiker (profi-aktuar.at) und verfügt über langjährige Erfahrung in der aktuariellen Beratung. Krischanitz war von 2004 bis 2019 Vorsitzender des Mathematisch-Statistischen Komitees im Versicherungsverband (VVO), von 2008 bis 2014 Präsident der Aktuarvereinigung Österreichs (AVÖ). Derzeit ist er unter anderem Chairman der Arbeitsgruppe Non-Life Insurance in der Actuarial Association of Europe (AAE).